由仿射 $\mathfrak{sl}_2$ 的 $q$-洗牌代数得到的无限维 $\square_q$-模

设 $\mathbb F$ 为一个域，并取一非零 $q \in \mathbb F$ 不是单位根。令 $\mathbb Z_4=\mathbb Z/4 \mathbb Z$ 表示 4 阶循环群。由生成元 $\lbrace x_i \rbrace_{i \in \mathbb Z_4}$ 与关系式 $$\frac{q x_i x_{i+1}-q^{-1}x_{i+1}x_i}{q-q^{-1}} = 1,\qquad x^3_i x_{i+2} - \lbrack 3 \rbrack_q x^2_i x_{i+2} x_i + \lbrack 3 \rbrack_q x_i x_{i+2} x^2_i -x_{i+2} x^3_i = 0,$$ 定义一个含单位元的结合 ${\mathbb F}$-代数 $\square_q$，其中 $\lbrack 3 \rbrack_q = \big(q^3-q^{-3}\big)/\big(q-q^{-1}\big)$。设 $V$ 为一个 $\square_q$-模。向量 $\xi\in V$ 若满足 $x_1 \xi = 0$、$x_3 \xi=0$ 且 $\xi \not=0$，则称为 NIL。$\square_q$-模 $V$ 若由某个 NIL 向量生成，则称为 NIL。我们证明在同构意义下存在唯一的 NIL $\square_q$-模，且它是不可约且无限维的。我们从十六个角度描述该模。在此描述中，仿射 $\mathfrak{sl}_2$ 的 $q$-洗牌代数起到了重要作用。