Cipolla-Lehmer 型算法的改进

设 F_q 为具有 q 个元素且 q 为素数幂 q 的有限域，并设 r>1 为整数且满足 $q\equiv 1 \pmod{r}$。本文中，我们提出对 H. C. Williams 给出、随后由 K. S. Williams 和 K. Hardy 改进的 Cipolla-Lehmer 型算法的精炼。对于给定的 r 次幂剩余 c ∈ F_q，其中 r 为奇素数，H. C. Williams 的算法在 F_q 中以 $O(r^3\log q)$ 次乘法确定 X^r=c 的一个解，而 K. S. Williams 和 K. Hardy 的算法在 F_q 中以 $O(r^4+r^2\log q)$ 次乘法找到解。我们的精炼在 F_q 中以 $O(r^3+r^2\log q)$ 次乘法找到解。因此，无论 r 的大小如何，我们的新方法都优于先前提出的算法，并且通过 SAGE 的实现结果展示了相比现有算法的显著加速。