基于Rank-3格子与第二向量的因式分解与幂除数问题
摘要
我们提出一种基于Coppersmith方法的确定性算法，利用秩为3的格子来解决与因式分解相关的问题。我们方法的一个有趣方面是利用LLL简化基中的第二个向量来避免Baby-step Giant-step方法中的平凡冲突，而常规文献中使用的是最短向量。我们的主要结果如下：1.与Harvey和Hittmeir（Math. Comp. 91 (2022), 1367 - 1379）达到对半质数N=pq进行因式分解复杂度为O( N^(1/5) log^(16/5) N / (log log N)^(3/5))的结果相比，在平衡的p和q情况下，我们证明复杂度可改进为O( N^(1/5) log^(13/5) N / (log log N)^(3/5))。2.对于因式分解幂的和与差，即形如N=a^n加上或减去b^n的数，我们改进了Hittmeir的结果（Math. Comp. 86 (2017), 2947 - 2954），将复杂度从O( N^(1/4) log^(3/2) N )改进为O( N^(1/5) log^(13/5) N)。3.对于寻找r次幂除数的問題，即查找所有整数p使得p^r整除N的問題，Harvey和Hittmeir（Proceedings of ANTS XV, Research in Number Theory 8 (2022), no. 4, Paper No. 94）最近直接应用Coppersmith方法，达到复杂度为O( N^(1/(4r)) log^(10+epsilon) N / r^3)。通过使用更快的LLL类算法和对小素数的筛选，我们改进了他们的结果为O( N^(1/(4r)) log^(7+3 epsilon) N / ((log log N minus log(4r)) r^(2+epsilon)))。他们算法的最差运行时间发生在N=p^r q且q的规模为N^(1/2)时。通过关注此情况并采用我们的秩为3的格子方法，我们实现了复杂度为O( r^(1/4) N^(1/(4r)) log^(5/2) N)。综上所述，我们提供了对这些问题的新视角，希望能提供进一步的见解。
引用
@article{arxiv.2512.19076,
title = {On Factoring and Power Divisor Problems via Rank-3 Lattices and the Second Vector},
author = {Yiming Gao and Yansong Feng and Honggang Hu and Yanbin Pan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.19076},
year = {2025}
}