Kummer与Artin-Schreier扩张中有界数字和离散对数问题

本文研究有限域$\F_{q^n}$（其中$n|q-1$）中的离散对数问题。该域称为$\F_q$的Kummer域或Kummer扩张。它在改进AKS素性证明算法中扮演重要角色。已知我们可在这些域中高效构造阶大于$2^n$的元素$g$。令$S_q(\bullet)$为从整数到其$q$进制展开中数字和的函数。我们给出一种算法，给定$g^e$（$0\leq e < q^n$）可在随机多项式时间内求出$e$，条件是$S_q (e) < n$。我们进而证明对大多数满足$S_q (e) < 1.32 n$的指数$e$，该问题在随机多项式时间内可解。后一结果的主要工具是Guruswami-Sudan列表译码算法。基于这些结果，我们证明在域$\F_{q^{q-1}}$中，关于$g$的有界数字和离散对数可在随机时间$O(f(w) \log^4 (q^{q-1}))$内计算，其中$f$为亚指数函数，$w$为指数的$q$进制数字和的上界。因此该问题是固定参数可处理的。这些结果被证明可推广到Artin-Schreier扩张$\F_{p^p}$（其中$p$为素数）。由于每个有限域都有一个次数为合理大小的扩张是Kummer域，我们的结果揭示了离散对数问题的一个意外性质，即：任意给定有限域中的有界数字和离散对数问题在某些低次扩张中变为多项式时间可解。