有界度图中远离哈密顿性的一类图的显式构造

图中哈密顿圈的研究最早始于19世纪50年代。此后，大量研究致力于识别允许哈密顿圈的图类以及相关的问题。相应的决策问题，即询问给定图是否为哈密顿图（即容许一个哈密顿圈），是Karp著名的NP完全问题之一。在本文中，我们研究远离哈密顿性的有界度图，其中具有$n$个顶点的图$G$若要使$G$成为哈密顿图必须修改常数比例的$n$条边，则称其远离哈密顿性。我们给出了一类有界度图的显式确定性构造，这些图是局部哈密顿的，但（全局）远离哈密顿性。这里，局部哈密顿是指每个小顶点集的邻域所导出的子图出现在某个哈密顿图中。更精确地说，我们得到的图与任何哈密顿图相差$\Theta(n)$条边，但在$o(n)$个顶点的邻域内无法检测出非哈密顿性。我们的图类为具有线性查询复杂度的单边错误性质测试器提供了一类困难实例。已知任何性质测试器（即使是双边错误）都需要线性数量的查询来测试哈密顿性（Yoshida, Ito, 2010）。这是通过困难实例的随机化构造证明的。相比之下，我们的构造是确定性的。迄今为止，已知的性质测试的困难实例的确定性构造极少。我们相信我们的构造可能带来图论的未来洞见，并有助于刻画在有界度模型中可测试的性质。