异构公共 goods 游戏中内省动力学的精确合作公式

在资源、生产力和行为响应性各不相同的群体中合作，支撑着众多社会和生物系统中的集体行动。内省动力学是一种每位玩家比较其 payoff 与在另一种策略下所获收益的学习规则，为处理此类非对称环境提供了自然的方式。我们研究的内省动力学中，玩家评估策略切换时的 payoff 差值 Δf_i 与其他玩家当前动作无关，这一属性我们称为状态无关性。在此条件下，内省马尔可夫链可分解为 N 个独立的两状态链的随机扫描乘积，每个玩家一个链，平稳分布为乘积测度。作为主要应用，我们考虑异构公共 goods 游戏，其中 N 位玩家可能在其贡献 α_i、公共 goods 乘子 r_i 和选择强度 β_i 上存在差异。我们证明，线性 payoff 结构意味着状态无关性，长期合作概率具有 exact 闭式形式：\n$$p_C = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \left[\frac{1-\mu_{i0}-\mu_{i1}}{1+e^{\,beta_i alpha_i(1-r_i/N)}}+\mu_{i0}\right],$$\n其中不存在渐近近似。随即若干结构性后果立即得出：在对称突变下，玩家特定的合作阈值为 r_i = N（在选择强度为零时实现 payoff 中性），以及每位玩家对其自身参数的敏感性符号。