抗拒集 packing的ETH紧致FPT算法及其肾脏交换的应用

我们研究了该多代理人版本的肾脏交换问题的parameterized complexity。给定图G和整数d和k，标准问题询问G是否包含一个覆盖总计至少k个顶点的、每个环长度≤d的顶点-disjoint cycle packing。在我们考虑的多代理人设置中，顶点集合被划分到几个代理人手中，如果将循环装包修改为覆盖更多自身顶点的备选装包，代理人会拒绝该循环装包。称为抗拒的循环装包是指不存在代理人拒绝它的循环装包，问题询问是否存在这样的装包能覆盖至少k个顶点。我们利用在该问题的集合装包形式上应用的sunflower lemma，给出一个对所有常数d值都为k的多项式大小的内核。我们还提供了一个基于它的2^{O(k log k)} + n^{O(1)}算法，证明该FPT算法在ETH下是渐近最优的。在进一步的工作中，我们通过在输入中加入一个额外的正整数c来推广该问题，这自然地捕获了代理人修改给定循环装包以进行抗拒的程度。对于每个常数c， resulting problem从Σ_2^P-complete简化为NP-complete。对于c=2，已存在超指数下界。我们为c=1提供一个特定的单指数算法。这些结果揭示了该问题在经典和parameterized complexity之间的有趣差异，为我们提供了了解其难以理解的原因的良好视角。