通过边收缩降低顶点覆盖数

CONTRACTION(vc) 问题输入一个具有 $n$ 个顶点的图 $G$ 以及两个整数 $k$ 和 $d$，并询问是否可通过收缩至多 $k$ 条边将 $G$ 的最小顶点覆盖的大小减少至少 $d$。最近，Lima 等人 [JCSS 2021] 证明了若干结果，其中包括：与大多数所谓的阻挡者问题不同，CONTRACTION(vc) 允许一个运行时间为 $f(d) \cdot n^{O(d)}$ 的 XP 算法。他们留下了该问题在此参数化下是否为 FPT 的开放问题。在本文中，我们延续这一研究脉络并证明如下结果：1. CONTRACTION(vc) 以 $k + d$ 为参数时是 W[1]-难的。此外，除非 ETH 不成立，否则该问题不允许任何函数 $f$ 下运行时间为 $f(k + d) \cdot n^{o(k + d)}$ 的算法。特别地，这以否定的方式回答了 Lima 等人 [JCSS 2021] 中提出的开放问题。2. 即便当 $k = d$ 时，判定 CONTRACTION(vc) 的实例 $(G, k, d)$ 是否为 yes-实例也是 NP-难的，从而增进了我们对该问题经典复杂度的理解。3. CONTRACTION(vc) 可在时间 $2^{O(d)} \cdot n^{k - d + O(1)}$ 内求解。该 XP 算法改进了 Lima 等人 [JCSS 2021] 的算法，后者以 Courcelle 定理作为子程序，因此运行时间中的 $f(d)$ 因子是非显式的且可能非常大。另一方面，它表明当 $k=d$ 时，该问题以 $d$（或以 $k$）为参数是 FPT 的。