标记图收缩参数化景观的更细致视图

我们研究了标记可约性（Labeled Contractibility）问题，该问题的输入由两个顶点标记图$G$和$H$组成，目标是确定$H$是否可以通过一系列边收缩获得。Lafond和Marchand[WADS 2025]首先对该问题进行参数化复杂度研究，证明其在允许收缩次数$k$参数化时为\W[1]\)-hard。他们还证明该问题可被固定参数可解，具体方法是通过应用Courcelle定理，得到一个非构造性算法。本文我们提出了一种构造性固定参数算法，时间复杂度为2^{\mathcal{O}(\tw^2)} \cdot |V(G)|^{\mathcal{O}(1)}$。我们还证明除非指数时间假设（\ETH）失败，否则该问题不可能拥有时间复杂度为$2^{o(\tw^2)} \cdot |V(G)|^{\mathcal{O}(1)}$的算法。这一结果将标记可约性问题加入了一小类接受此类下界和匹配算法的问题集合中。我们进一步加强了现有硬度结果，证明该问题即使在两个输入图的最大度数均有界时仍为$\NP$-complete。我们还研究了以$(k + \delta(G))$为参数化方式，其中$\delta(G)$表示$G$的退化性，排除了亚指数时间算法的存在。这一工作解答了Lafond和Marchand[WADS 2025]中提出的问题。我们此外提供了一个改进的$\FPT$算法，相较于先前已知算法，在$(k + \delta(G))$上的依赖性更好。最后，我们分析了一个时间复杂度为$|V(H)|^{\mathcal{O}(|V(G)|)}$的暴力算法，证明该时间复杂度在\ETH下是最优的。