关于收缩至弦图类的参数化可近似性

收缩边作为一种图操作，是图子式理论中的基本操作之一。通过收缩 $k$ 条边将图编辑为特定图族的参数化复杂性近期受到了广泛关注，并取得了若干新成果。一些重要的图族，即弦图的子族，在边收缩的背景下，已被证明比预期的要困难得多。在本文中，我们在参数化近似的领域研究 \textsc{$\cal F$-Contraction} 问题，其中 $\cal F$ 是弦图的一个子族。形式上，给定图 $G$ 和整数 $k$，\textsc{$\cal F$-Contraction} 询问是否存在 $X \subseteq E(G)$ 使得 $G/X \in \cal F$ 且 $|X| \leq k$。这里，$G/X$ 是通过收缩 $X$ 中的边从 $G$ 获得的图。我们针对 \textsc{$\cal F$-Contraction} 问题获得以下结果。$(1)$ 我们证明 \textsc{Clique Contraction} 存在多项式大小的近似核化方案 (\textsf{PSAKS})。$(2)$ 我们为 \textsc{Split Contraction} 给出了 $(2+\epsilon)$-近似多项式核（这也意味着 \textsc{Split Contraction} 存在因子为 $(2+\epsilon)$ 的 \FPT-近似算法）。此外，我们证明，假设 \textsf{Gap-ETH} 成立，\textsc{Split Contraction} 不存在 $\left(\frac{5}{4}-\delta \right)$-\FPT-近似算法。这里，$\epsilon, \delta>0$ 是固定常数。$(3)$ 已知 \textsc{Chordal Contraction} 是 \WTH 的。我们通过观察到现有的 \textsf{W[2]-hardness} 归约可以进行调整来补充这一结果，即假设 \FPT $\neq$ \textsf{W[1]} 成立，\textsc{Chordal Contraction} 不存在 $F(k)$-\FPT-近似算法。这里，$F(k)$ 是仅依赖于 $k$ 的任意函数。