关于子图同构参数化复杂度你想知道的一切（但不敢问）

给定两个图 $H$ 和 $G$，子图同构（Subgraph Isomorphism）问题询问 $H$ 是否同构于 $G$ 的某个子图。虽然该问题在一般情况下是 NP 难的，但针对该问题的各种参数化版本已存在相应算法：例如，(1) 利用 Alon、Yuster 和 Zwick 的色编码（color-coding）技术，可在 $2^{O(|V(H)|)}\cdot n^{O(\tw(H))}$ 时间内求解；(2) 利用 Courcelle 定理，可在 $f(|V(H)|,\tw(G))\cdot n$ 时间内求解；(3) 利用 Frick 和 Grohe 关于一阶模型检验的结果，可在 $f(|V(H)|,\genus(G))\cdot n$ 时间内求解；或 (4) 对于连通的 $H$，利用 Matou\v{s}ek 和 Thomas 的算法，可在 $f(\maxdeg(H))\cdot n^{O(\tw(G)})$ 时间内求解。仅这一小部分结果就表明，算法对参数的依赖方式是非常非平凡且微妙的。我们开发了一个框架，涉及 $H$ 和 $G$ 各自的 10 个相关参数（如树宽、路径宽、亏格、最大度、顶点数、连通分量数等），并探讨是否存在运行时间为 $$f_1(p_1,p_2,..., p_\ell)\cdot n^{f_2(p_{\ell+1},..., p_k)}$$ 的算法，其中 $p_1,..., p_k$ 中的每一个都是仅依赖于 $H$ 或 $G$ 的 10 个参数之一。我们证明了该框架中产生的所有问题均可由一组 11 个最大肯定结果（算法）和一组 17 个最大否定结果（难度证明）来回答；其中部分结果已见于文献，其余则为本论文的新成果。在算法方面，我们的研究揭示，例如，$G$ 的有界度、亏格和反馈顶点集数的意外组合产生了一种高度非平凡的子图同构算法。在难度方面，我们在极度受限的条件下提出了 W[1]-难度证明，例如当 $H$ 是具有常数路径宽的有界度树且 $G$ 是有界路径宽的平面图时。