无知近乎极乐：少量查询下的近最优随机匹配

随机匹配问题旨在寻找一个图的最大匹配，其中边的存在性未知但可通过查询获知。这是随机 $k$-集 packing 问题的一个特例，后者旨在寻找集合的最大 packing，每个集合以某种概率存在。在本文中，我们分别为这两个问题提供了边查询算法和集查询算法，并证明它们能达到全知最优解的某个比例。针对随机匹配（即 $2$-集 packing）问题的主要理论结果是设计了一种\emph{自适应}算法，该算法每个顶点仅查询常数条边，并能达到全知最优解的 $(1-\epsilon)$ 比例，其中 $\epsilon>0$ 为任意小量。此外，该自适应算法仅在常数轮次内完成查询。我们用一个\emph{非自适应}（即单轮查询）算法补充了这一结果，该算法能达到全知最优解的 $(0.5 - \epsilon)$ 比例。我们还通过将结果扩展到随机 $k$-集 packing 问题，设计了一种自适应算法，该算法每个元素仅需 $O(1)$ 次查询即可达到全知最优解的 $(\frac{2}{k} - \epsilon)$ 比例。这一保证接近于\emph{确定性} $k$-集 packing 问题已知的最佳多项式时间近似比 $\frac{3}{k+1} -\epsilon$ [Furer and Yu, 2013]。我们在经验上探索了这些算法（及其变体）在肾脏交换问题中的应用，在该问题中，终末期肾衰竭患者交换愿意但不兼容的捐赠者。我们在生成数据和来自 UNOS 全国肾脏交换前 169 次匹配运行的真实数据上均表明，即使每个顶点进行极少量的非自适应边查询，也能使预期成功匹配数获得大幅提升。