带重复元素的单词的 Erd\H{o}s--Szekeres 类型结果

我们证明了关于具有重复值的自然数上有限单词的 Erd\H{o}s--Szekeres 类型结果。具体而言，我们定义单词中的\emph{重复}为值第一次出现之外的出现。我们定义单词 $w$ 中模式 $\pi$ 的出现为一个（不一定是连续的）在 $w$ 中与 $\pi$ 同构的子单词。在本文中，我们证明任何包含 $kn^6+1$ 个重复的单词都包含以下模式之一：$0^{k+2}$、$0011\cdots nn$、$nn\cdots1100$、$012 \cdots n012 \cdots n$、$012 \cdots nn\cdots 210$、$n\cdots 210012\cdots n$、$n\cdots 210n\cdots 210$。此外，当 $k=1$ 时，我们通过构造一个包含 $n^6$ 个重复且不包含上述任何模式的单词来说明这一结果是最佳的。