一种用于逼近奇异值分解的高效随机 QLP 算法

本文引入一种称为 Rand-QLP 的随机 QLP 分解。对矩阵 $\bf A$ 运算，Rand-QLP 给出 ${\bf A}={\bf QLP}^T$，其中 $\bf Q$ 与 $\bf P$ 为正交规范矩阵，$\bf L$ 为下三角矩阵。在输入矩阵秩为 $k$ 的假设下，我们导出 Rand-QLP 的若干误差界：前 $k$ 个近似奇异值的界与中间因子 $\bf L$ 的尾部块界，表明该分解具有秩揭示性；给定矩阵四个基本子空间的近似子空间与精确子空间之间距离的界；以及由 $\bf Q$ 与 $\bf P$ 的列构造的低秩近似误差的界。Rand-QLP 由于利用随机采样与非枢轴 QR 分解，能够有效利用现代计算架构，从而解决了奇异值分解（SVD）、列枢轴 QR（CPQR）及近期多数矩阵分解算法所关联的严重瓶颈。为评估不同算法的性能表现，我们使用运行于 2.6 GHz 的 Intel Xeon Gold 6240 CPU 与 NVIDIA GeForce RTX 2080Ti GPU。与 CPQR 和 SVD 相比，Rand-QLP 在 CPU 上分别实现最高 5 倍与 6.6 倍的加速，在混合 GPU 架构下分别达 3.8 倍与 4.4 倍。在近似质量方面，我们在合成与真实数据上的结果表明，Rand-QLP 的近似可与枢轴 QLP 及最优 SVD 相媲美，且在多数情况下显著优于 CPQR。