使 SPAI 和 PSAI 预条件子对大型不规则稀疏线性系统有效的一种方法

我们研究了 SPAI 和 PSAI 预条件过程，并阐明了它们的两个重要特征：(i) 对于大型线性系统 $Ax=b$，若 $A$ 为不规则稀疏（即 $A$ 具有 $s$ 个相对稠密的列），SPAI 的实现成本可能非常高，且生成的稀疏近似逆矩阵作为预条件子可能无效；PSAI 作为预条件子可能有效，但可能需要过多的存储空间且耗时不可接受；(ii) 当 $A$ 为规则稀疏（即其所有列均为稀疏）时，情况得到极大改善。在这种情况下，SPAI 和 PSAI 均高效，且更有可能构建出有效的预条件子，尤其是 PSAI。受这些特征的启发，我们提出了一种方法，使 SPAI 和 PSAI 更适用于 $A$ 为不规则稀疏的 $Ax=b$。我们首先将 $A$ 分解为一个规则稀疏矩阵 $\tilde A$ 和一个低秩 $s$ 矩阵。然后利用 Sherman--Morrison--Woodbury 公式，将 $Ax=b$ 转化为 $s+1$ 个具有相同系数矩阵 $\tilde A$ 的新线性系统，使用 SPAI 和 PSAI 高效计算 $\tilde A$ 的稀疏近似逆，并应用 Krylov 迭代法求解预条件后的线性系统。理论上，我们考虑了从某些重要矩阵类获得的 $\tilde A$ 的非奇异性和条件数。我们展示了如何从这 $s+1$ 个新系统的解中恢复 $Ax=b$ 的近似解，以及如何为这 $s+1$ 个系统设计可靠的停止准则，以保证 $Ax=b$ 的近似解满足所需的精度。鉴于不规则稀疏线性系统在应用中很常见，该方法广泛扩展了 SPAI 和 PSAI 的实用性。数值结果表明，与直接将 SPAI 和 PSAI 应用于 $Ax=b$ 相比，我们的方法具有显著优势。