基于残差的大型稀疏线性系统稀疏近似逆预处理过程

SPAI 算法是由 Grote 和 Huckle [SIAM J. Sci. Comput., 18 (1997), pp.~838--853.] 提出的用于大型稀疏线性系统的稀疏近似逆预处理技术，它基于 F 范数最小化并自适应地计算大型稀疏矩阵 $A$ 的稀疏近似逆 $M$。然而，SPAI 在每次循环中寻找最有益指标可能代价高昂，且 $M$ 对于预处理可能无效。本文中，我们提出一种基于残差的稀疏近似逆预处理过程(RSAI)，与 SPAI 不同，它仅基于当前残流的{\em 主导}而非全部信息，并在循环中自适应地扩充稀疏模式。RSAI 寻找指标代价更低，且比 SPAI 更有效地捕获 $A^{-1}$ 的良好近似稀疏模式。为控制 $M$ 的稀疏性并降低计算成本，我们开发了实用的 RSAI($tol$) 算法，该算法在过程中自适应地丢弃小的非零项。数值实验表明 RSAI($tol$) 至少与 SPAI 相当，并且可能比 SPAI 更高效和有效。它们还表明 RSAI($tol$) 与其中一位作者在 2009 年提出的 PSAI($tol$) 算法相当。