来自共形场论的受限分拆数解析公式

为了提出计算分拆数的精确解析公式，我们研究了二维共形场论（CFT）中不规则顶点算符的关联函数，即：1) 对于给定的 $N,k$，求 $N$ 的长度为 $k$ 的分拆总数 $\lambda(N|k)$：$N=n_1+...+n_k;0<n_1\leq{n_2}...\leq{n_k}$。2) 求自然数 $N$ 的分拆总数 $\lambda(N)=\sum_{k=1}^N\lambda(N|k)$。我们通过关联 $c=1$ 共形场论中不规则顶点算符的两点短距离关联函数（算符的形式在本文中确立），提出了 $\lambda(N|k)$ 的精确解析表达式：第一个关联函数计数上半平面中的分拆，第二个关联函数通过形式为 $f(z)=h(z)e^{-{i\over{z}}}$ 的共形变换从第一个关联函数得到，其中 $h(z)$ 在 $z=0$ 处正则且非零。$\lambda(N|k)$ 的最终公式以正则化（$\epsilon$-有序）有限级数给出，该级数由上述共形变换在 $z=i\epsilon$（$\epsilon\rightarrow{0}$）处的广义高阶导数 Schwarzian 导数和不完整 Bell 多项式构成。