Gödel 逻辑中 Ruspini 划分的分析

所谓 Ruspini 划分，是指有限模糊集族 $\{f_1, \ldots, f_n\}$，$f_i : [0,1] \to [0,1]$，满足对所有 $x \in [0,1]$ 均有 $\sum_{i=1}^n f_i(x)=1$，其中 $[0,1]$ 表示实单位区间。我们在 Gödel 逻辑的语言中分析此类划分。我们的第一个主要结果确定了 Ruspini 条件在该语言中可表达的精确程度，并由此给出了一种构造性程序，通过 Gödel 逻辑中的一个理论来公理化给定的 Ruspini 划分。我们的第二个主要结果将此分析推广至满足自然附加条件的 Ruspini 划分，即每个 $f_i$ 至多有一个左邻和一个右邻，这意味着对于 $i_1\neq i_2\neq i_3$，$\min_{x \in [0,1]}{\{f_{i_1}(x),f_{i_2}(x),f_{i_3}(x)\}}=0$ 成立。