一致可求长集上 $L^{p}$ 空间的 $\alpha$ 数刻画

我们利用 Tolsa 的 $\alpha$ 数对一致可求长测度 $\sigma$ 给出 $L^{p}(\sigma)$ 的刻画：对 $1<p<\infty$ 和 $f\in L^{p}(\sigma)$，证明 $$\lVert f\rVert_{L^{p}(\sigma)}\sim \left\lVert\left(\int_{0}^{\infty} \left(\alpha_{f\sigma}(x,r)+|f|_{x,r}\alpha_{\sigma}(x,r)\right)^2\ \frac{dr}{r} \right)^{\frac{1}{2}}\right\rVert_{L^{p}(\sigma)}.$$