$\alpha$-行列式循环模与 Jacobi 多项式

我们研究由 $\alpha$-行列式的 $l$ 次幂生成的循环 $U(\mathfrak{gl}_n)$-模。当 $l$ 为非负整数时，对于除有限个例外值外的所有 $\alpha$，该循环模同构于 $\mathbb{C}^n$ 的对称 $l$ 次张量空间 $(S^l(\mathbb{C}^n))^{\otimes n}$ 的 $n$ 次张量积。若 $\alpha$ 为例外值，则模的结构发生剧烈变化，即在 $(S^l(\mathbb{C}^n))^{\otimes n}$ 分解中出现的某些不可约表示在循环模的分解中消失。循环模每个等典型分支的退化由一个矩阵描述，该矩阵的阶数由 Kostka 数给出，其元素为具有有理系数的关于 $\alpha$ 的多项式。作为特例，我们完全确定了 $n=2$ 情形下的矩阵；该矩阵退化为标量，且本质上由经典 Jacobi 多项式给出。此外，我们证明了这些多项式是酉的。