奇异 $\alpha$-行列式的不变理论

从不可约分解的观点看，由 $\alpha$-行列式生成的循环 $GL_n$-模在 $\alpha=\pm \frac1k (1\leq k\leq n-1)$ 时退化。本文中我们证明 $-\frac1k$-行列式具有与通常行列式类似的若干性质。由此事实可定义一种新的（相对）不变式，称为writh行列式（wreath determinant）。利用 Howe 意义下的 $(GL_m, GL_n)$-对偶，我们得到 wreath 行列式由对应于合适矩形形状 tableaux 的通常子式行列式之某一线性组合表达。我们还研究了 wreath 行列式对 Vandermonde 行列式的类比，并在此框架下探讨 Schur 函数等对称函数。此外，我们考察了在 wreath 行列式的线性表达中出现的、称之为 $(n,k)$-符号的系数，并将其与对称群 $S_{nk}$ 的 Young 子群的 zonal 球函数相联系。