整数中的所有信息皆在素数之中

基于 Chebyshev、Shannon 和 Kontoyiannis 的工作，可以证明 Chebyshev 的渐近结果：\begin{equation} \ln N \sim \sum_{p \leq N} \frac{1}{p} \cdot \ln p \end{equation} 具有一种自然的信息论解释：在最大熵分布下采样的典型整数 $Z \sim U([1,N])$ 的信息含量渐近等价于所有素数 $p \leq N$ 按其典型频率加权后的信息含量。这一结果通过表明熵 $\ln p$ 的正确信息论解释可由作者近期关于素数具有均匀源分布的观察推导出来而得以确立。此外，利用 Chaitin 的定理——几乎所有整数都是算法随机的——我们可以将该渐近结果推广到算法信息论的情形，并推导出典型整数的算法信息上界。