信息的群论根源：置换、对称与熵
信息论
2019-11-25 v2 math.IT
摘要
我们通过将信息与无序的概念以一种新的方式联系到群论，提出了对信息与无序度量的新解释。熵与群论在此通过它们与置换集合的共同关联而联系起来。我们提出了一种用整数和离散函数表示的、称为整数熵的信息与无序的组合度量。香农信息度量是更丰富、更一般的概念结构的极限情形，该结构揭示了有限群、信息与对称性之间的关系。我们证明了当群包含所有置换（即对称群）且对象数量无限增大时，整数熵一致收敛于香农熵。调和数有一个众所周知的 combinatorics 意义，即 n 个对象的置换中互不相交非空循环个数的期望值；由于整数熵定义为置换集合上循环个数的期望值，它也因此具有清晰的组合意义。由于所有有限群都同构于对称群的子群，每个有限群都有对应的、类似于香农熵的信息泛函，以及类似于调和数的数列。我们利用 Cameron-Semeraro 循环多项式来分析有限群的整数熵，并刻画类似于调和数的数列。我们引入并使用了一种互反多项式，即置换多项式，它提供了额外的工具与新的见解。破缺对称与守恒量通过群的循环与置换性质相联系，并可用于推广随机过程的分析。
引用
@article{arxiv.1908.09642,
title = {The Group Theoretic Roots of Information: permutations, symmetry, and entropy},
author = {David J. Galas},
journal= {arXiv preprint arXiv:1908.09642},
year = {2019}
}
备注
This revised manuscript has 37 pages, a few small corrections and clarifications, an added section and an added appendix