$\kappa$-Poincar\'e 测地线的所有非交换空间

非交换测地线空间提供了一种引入具有量子群对称性的非交换相对论运动学的替代途径。本文中，我们显式给出可由 (3+1) 维中时间型、空间型与光型版本的 $\kappa$-Poincar\'e 量子对称性构造的七种时间型、空间型与光型测地线的非交换空间。值得注意的是，仅对光型（或零平面）$\kappa$-Poincar\'e 形变可构造三类非交换测地线空间，而对时间型与空间型形变，量子时间型与空间型测地线均可定义，但光型不可。此阻碍源于相应形变相对于与给定测地线空间相关的各向同性子代数所施加的余各向同性条件的约束，因为所有这些量子空间均作为相应经典余各向同性泊松齐性空间的量子化而构造。已知光锥上的量子测地线空间由五维齐性二次代数给出，而六种时间型与空间型测地线的非交换空间被显式获得为六维非线性代数。其中六种空间有五种为首次给出，并找到了它们的 Darboux 生成元，从而表明量子形变参数 $\kappa^{-1}$ 在量子测地线上扮演的代数角色与普朗克常数 $\hbar$ 在量子力学通常相空间描述中所扮演者完全相同。