逆系统的射影方案关联代数

Artin、Tate 和 Van den Bergh 通过深入研究与非交换 graded 代数相关联的几何数据，开创了非交换射影代数几何的领域。更具体地，给定域 $\mathbb K$ 和一个 graded $\mathbb K$-代数 $A$，他们定义了一个射影方案的逆系统 $\Upsilon_A = \{{\Upsilon_d(A)}\}$。该系统为一个由全局截面构成的代数 $\mathbf B(\Upsilon_A)$，以及一个 $\mathbb K$-代数态射 $\tau: A \to \mathbf B(\Upsilon_A)$。我们研究并扩展了该构造。我们定义，对于任意自然数 $n$，一个射影系统范畴 ${\tt PSys}^n$，以及从 ${\tt PSys}^n$ 到关联 $\mathbb K$-代数的逆变函子 $\mathbf B$。我们将方案 ${\Upsilon_d(A)}$ 表现为 ${\rm Proj \ } {\mathbf U}_d(A)$，其中 ${\mathbf U}_d$ 是从关联代数到交换代数的函子。我们用 ${\mathbf U}_d(A)$ 的局部 ery 模块来刻画态射 $\tau: A \to \mathbf B(\Upsilon_A)$ 是否单射或满射。以 Walton 的工作为灵感，当 $\Upsilon_A$ 由行为良好的方案组成时，我们证明了一个几何结果，计算 $\mathbf B(\Upsilon_A)$ 的 Hilbert 系列。我们提供了大量详细的例子说明我们的結果。例如，我们证明对于某些作为多项式环的扭转张量积构造的非-AS-regular 代数，$\tau$ 是满射或同构。