广义超几何级数 _nF_{n-1} 模 p 的代数性

设 $f(z)={}_nF_{n-1}(\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta})$ 为参数 $\mathbf{\alpha} = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ 与 $\mathbf{\beta} = (\beta_1,\ldots,\beta_{n-1},1)$ 取自 $(\mathbb{Q}\cap(0,1])^n$ 的超几何级数，设 $d_{\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}$ 为以最简形式写出的 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$、$\beta_1,\ldots,\beta_{n-1}$ 分母的最小公倍数，并设 $p$ 为不整除 $d_{\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}$ 且使 $f(z)\in\mathbb{Z}_{(p)}[[z]]$ 的素数。最近在 \cite{vmsff} 中证明，若对所有 $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ 均有 $\alpha_i-\beta_j\notin\mathbb{Z}$，则 $f(z)$ 模 $p$ 的约化在 $\mathbb{F}_p(z)$ 上代数。衡量代数幂级数复杂度的标准方法是估计其次数与高度。在本工作中，我们证明若 $p>2d_{\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}$，则存在非零多项式 $P_p(Y)\in\mathbb{F}_p(z)[Y]$，其次数不超过 $p^{2^n\varphi(d_{\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}})}$、高度不超过 $5^n(n+1)!p^{2^{n}\varphi({d_{\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}})}}$ 使得 $P_p(f(z)\bmod p)=0$，其中 $\varphi$ 为欧拉函数。此外，我们的证明方法给出了显式构造多项式 $P_p(Y)$ 的途径。我们通过对若干显式超几何级数应用该构造来说明此方法。