基于新多项式形式的极化码代数性质
信息论
2021-03-05 v2 math.IT
摘要
极化码是一类非常强大的码，具有低复杂度解码算法，可达到纠错和信源编码中许多信息论极限。这些码与Reed-Muller码密切相关，因为两者均可用相同的代数形式描述，即它们由单项式的求值生成。然而，为极化码寻找优化解码性能的正确生成单项式集合是一项困难且依赖于信道的任务。本文旨在揭示这些单项式的一些普适性质。我们将证明，可以定义一种非平凡的（偏）序于单项式上，使得为二进制输入对称信道设计的极化码的生成单项式总构成一个递减集。这一性质对极化码的结构有相当深远的影响。事实上，递减单项式码的置换群包含一个称为下三角仿射群的大群。此外，最小重量的码字恰好对应于由生成集单项式的（求值）所得最小重量码字的轨道。特别地，它给出了一种有效计数递减单项式码乃至极化码的最小重量码字数量的方法。
引用
@article{arxiv.1601.06215,
title = {Algebraic Properties of Polar Codes From a New Polynomial Formalism},
author = {Magali Bardet and Vlad Dragoi and Ayoub Otmani and Jean-Pierre Tillich},
journal= {arXiv preprint arXiv:1601.06215},
year = {2021}
}
备注
14 pages * A reference to the work of Bernhard Geiger has been added (arXiv:1506.05231) * Lemma 3 has been changed a little bit in order to prove that Proposition 7.1 in arXiv:1506.05231 holds for any binary input symmetric channel