非交换符号矩阵行列式次数的代数组合优化

我们研究形如 $$A[c] := \sum_{k=1}^m A_k t^{c_k} x_k$$ 的非交换符号矩阵的次子式次数的计算问题，其中 $A_k$ 是域 $\mathbb{K}$ 上的矩阵，$x_i$ 为非交换变量，$c_k$ 为整数权值，$t$ 为指定次数的交换变量。该问题推广了非交换 Edmonds 问题（Ivanyos 等 2017），并可表述多种组合优化问题。扩展 Hirai 2018 与 Hirai、Ikeda 2022 的研究，我们给出了 $A[c]$ 所有尺寸次子式最大次数的新对偶定理与多面体刻画，并开发了计算它们的强多项式时间算法。该算法可视为经典二分匹配匈牙利方法与线性拟阵交权的权重分裂算法的统一代数化。作为应用，我们给出了加权分数线性拟阵匹配与秩-2 Brascamp-Lieb 多面体上线性优化的多项式时间算法。