通过欧几里得建筑上的离散凸优化计算行列式的度

在本文中，我们考虑计算线性符号矩阵 $A = A_0 + A_1 x_1 + \cdots + A_m x_m$ 的 Dieudonné 行列式的度，其中每个 $A_i$ 是 $\mathbb{K}[t]$ 上的 $n \times n$ 多项式矩阵，$x_1,x_2,\ldots,x_m$ 是两两“非交换”变量。该量被视为线性符号矩阵非交换秩的加权推广，其计算被证明是若干基本组合优化问题（如加权二部匹配和加权线性拟阵相交问题）的推广。基于 Fortin 和 Rautenauer (2004) 以及 Ivanyos、Qiao 和 Subrahmanyam (2018) 关于非交换秩的工作，我们开发了一个计算线性符号矩阵 Dieudonné 行列式度的框架。我们证明了 deg-det 计算可归约为 ${\rm SL}(\mathbb{K}(t)^n)$ 的欧几里得建筑上的离散凸优化问题。为了处理这一优化问题，我们引入了建筑上的一类离散凸函数。该类是离散凸分析（DCA）中 L-凸函数的自然推广。我们开发了一种面向 DCA 的算法（最速下降算法）来计算行列式的度。我们的算法在 $\mathbb{K}$ 上进行矩阵计算，并使用一个子程序来计算非交换秩的证书向量子空间，其中对该子程序的调用次数得到了精确估计。我们的算法以新的见解增强了一些经典的组合优化算法，并且也可以被理解为组合松弛算法的一种变体，该算法早先由 Murota 开发用于计算（普通）行列式的度。