计算具有 $2 \times 2$ 子矩阵的泛型分块多项式矩阵子式最大次数全序列的组合算法

本文考虑计算块结构符号矩阵（泛型分块多项式矩阵）$A = (A_{\alpha\beta} x_{\alpha \beta} t^{d_{\alpha \beta}})$ 的子式最大次数全序列的问题，其中 $A_{\alpha\beta}$ 是域 $\mathbf{F}$ 上的 $2 \times 2$ 矩阵，$x_{\alpha \beta}$ 为不定元，$d_{\alpha \beta}$ 为整数（$\alpha = 1,2,\dots, \mu$，$\beta = 1,2,\dots,\nu$），$t$ 为附加不定元。该问题可视为最大权二分匹配问题的代数推广。本文的主要结果是计算大小为 $2\mu \times 2\nu$ 的 $(2 \times 2)$ 型泛型分块多项式矩阵子式最大次数全序列的组合 $O(\mu \nu \min\{\mu, \nu\}^2)$ 时间算法。我们还给出一个极小极大定理，其可用作 $k$ 阶子式最大次数计算的良特征（NP $\cap$ co-NP 特征）。我们的结果推广了最大权二分匹配问题的经典原始对偶算法（匈牙利算法）与极小极大公式（Egerv\'ary 定理）。