Dunkl Laplace-Runge-Lenz 向量的代数

我们考虑与有限 Coxeter 群 $W$ 相关的 Dunkl 版 Laplace-Runge-Lenz 向量，该群以几何方式作用于 $\mathbb R^N$ 并带重数函数 $g$。此向量推广了通常的 Laplace-Runge-Lenz 向量，其分量与由附加 Coulomb 势 $\gamma/r$ 的 Dunkl Laplacian 给出的 Dunkl-Coulomb 哈密顿量对易。我们研究由此得到的对称代数 $R_{g, \gamma}(W)$ 并证明其具有 Poincar\'e-Birkhoff-Witt 性质。在无 Coulomb 势时，此对称代数 $R_{g,0}(W)$ 是有理 Cherednik 代数 $H_g(W)$ 的子代数。我们证明代数 $R_{g, \gamma}(W)$ 的一个中心商是一个二次代数，同构于相应 Dunkl 角动量代数 $H_g^{so(N+1)}(W)$ 的中心商。这给出了将代数 $H_g^{so(N+1)}(W)$ 解释为 $\mathbb R^N$ 中 Dunkl-Coulomb 问题的隐对称代数。通过将 $R_{g, \gamma}(W)$ 特化为 $g=0$，我们重新得到通用包络代数 $U(so(N+1))$ 的一个商作为 $\mathbb R^N$ 中 Coulomb 问题的隐对称代数。我们还应用 Dunkl Laplace-Runge-Lenz 向量建立了广义 Calogero-Moser 系统的最大超可积性。