群超扩张中的代数，I：零元与交换性

给定一个群 $X$，我们研究其超扩张 $\lambda(X)$ 的代数结构。这是一个右拓扑半群，由 $X$ 上所有极大链接系组成，并赋予运算 $$\mathcal A\circ\mathcal B=\{C\subset X:\{x\in X:x^{-1}C\in\mathcal B\}\in\mathcal A\}$$ 该运算扩展了 $X$ 的群运算。我们将 $\lambda(X)$ 的右零元刻画为 $X$ 上的不变极大链接系，并证明 $\lambda(X)$ 存在右零元当且仅当 $X$ 的每个元素都具有奇数阶。另一方面，半群 $\lambda(X)$ 包含左零元当且仅当它包含零元，当且仅当 $X$ 具有奇数阶且 $|X|\le5$。半群 $\lambda(X)$ 是交换的当且仅当 $|X|\le4$。本文最后完整描述了所有基数 $|X|\le5$ 的群 $X$ 对应的半群 $\lambda(X)$ 的代数结构。