对称单纯复形的 Alexander 对偶与 Stanley-Reisner 理想

给定一个由 $\Sym$-不变的squarefree单项式理想组成的升链 $(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$，我们研究相应的 Alexander 对偶链 $(I_n^\vee)_{n\in\mathbb{N}}$。利用一种我们称之为\emph{直至对称的避免}的新组合工具，我们给出了直至对称的最小生成集相对于原始生成元的显式描述。将此结果与离散几何中的方法相结合，使我们能够证明：对于充分大的 $n$，$I_n^\vee$ 的轨道生成元个数由关于 $n$ 的多项式给出。对于最小次数的轨道生成元个数同样成立，该次数最终是关于 $n$ 的线性函数。前一个结果意味着对于大的 $n$，$I_n$ 的 $\Sym$-轨道的准素分量个数在 $n$ 中多项式增长。作为另一应用，我们证明对每个 $i\geq 0$，$I_n$ 的相伴 Stanley-Reisner 复形的 $i$ 维面个数对于大的 $n$ 也由关于 $n$ 的多项式给出。