关于 Hardy–Littlewood–Pólya 优超的 Alberti–Uhlmann 问题

我们完整刻画了半有限冯·诺依曼代数 affiliated 的非交换 $L_1$-空间中自伴元的双随机轨道，回答了 Alberti 与 Uhlmann 于 1980 年代提出的问题，并推广了文献中的若干结果。由我们的方法进一步可得：对任意装备半有限无穷忠实正规迹 $\tau$ 的 $\sigma$-有限冯·诺依曼代数 ${\mathcal M}$，存在自伴算子 $y\in L_1({\mathcal M},\tau)$，使得 $y$ 的双随机轨道不与 Hardy–Littlewood–Pólya 意义下 $y$ 的轨道重合，这证实了 Hiai 的一个猜想。然而，我们表明 Hiai 猜想对非 $\sigma$-有限的冯·诺依曼代数不成立。本文的主要结果也回答了 Luxemburg 与 Ryff 在 1960 年代所提问题的（非交换）无穷对应情形。