椭圆算子的eta与zeta函数的绝热极限

我们推广绝热拟微分算子的微积分，以研究由 $S^1$ 上指标化的椭圆算子族构造的微分算子 $\delta$ 的 eta 与 zeta 函数的绝热极限行为。我们证明正则化值 ${\eta}(\delta_t,0)$ 与 $t{\zeta}(\delta_t,0)$ 是 $t=0$ 处 $t$ 的光滑函数，并将其在 $t=0$ 处的值分别确定为行列式丛的 holonomy 与一个剩余迹。对于可逆算子族，函数 ${\eta}(\delta_t,s)$ 与 $t{\zeta}(\delta_t,s)$ 对所有 $s$ 值均光滑延拓至 $t=0$。在用 Gamma 因子规范化后，zeta 函数在绝热极限下满足一个令人联想到 Riemann zeta 函数的恒等式，而 eta 函数收敛于 Bismut-Freed 亚纯联络 1-形式族的体积极限。