adic Chern 形式及其应用

设 X 是特征为 0 的域上的代数簇。给定 X 上的向量丛 E，我们在 $\Gamma(X, \cal{A}^{2i}_{X})$ 中构造 Chern 形式 $c_{i}(E;\nabla)$。此处 $\cal{A}^{.}_{X}$ 是 Beilinson adele 层，$\nabla$ 是一个 adelic 联络。当 X 光滑时，这些 adele 计算代数 De Rham 上同调，且 $c_{i}(E) = [c_{i}(E;\nabla)]$ 为通常的 Chern 类。我们给出该构造的三个应用：(1) 任意光滑 X 与任意向量丛 E 上 adelic 次级（Chern-Simons）特征类的存在性；(2) 关于向量场作用的 Bott 留数公式的证明；(3) 在微分形式层面（即 De Rham-留数复形中）的 Gauss-Bonnet 公式的证明。