光滑流形上Chern特征的留数公式

复向量丛的Chern特征最便利地定义为其联络曲率的指数。众所周知，它的上同调类不依赖于所选取的特定联络。Quillen已证明，联络可被向量丛的端omorphism（例如某椭圆微分算子的符号）所扰动。正如我们意图展示的，这一视角使得人们能将Chern特征与Connes和Moscovici提出的非交换对应物相联系。我们问题的总体框架是纯几何的。设$\sigma$为作用在$\mathbb{Z}_2$-分次向量丛$E$的截面上的Dirac型算子的符号。设$\nabla$为$E$上拉回到$T^*M$的联络。并设$\nabla$保持$\mathbb{Z}_2$-分次。对象$\nabla+\sigma$在Quillen意义下是$T^*M$上的一个超联络。我们得到了Quillen的Chern特征$\mathrm{ch}(D)=\mathrm{trace}(\exp(\nabla+\sigma)^2)$的$H_*(M)$-值Poincaré对偶关于$\Gamma(z)\mathrm{trace}(\nabla+\sigma)^{-2z}$的留数的公式。我们也计算了两种例子。