奇素数阶群中的加法三元组

设 $p$ 为奇素数。对于 $\mathbb{Z}_p$ 的基数分别为 $s,t$ 的非平凡真子集 $A,B$,我们计算加法三元组(即 $A \times B \times B$ 中形如 $(a, b, a+b)$ 的元素)的数目 $r(A,B,B)$。对于给定的 $s,t$,$r(A,B,B)$ 可能取值的谱是什么?在 $A=B$ 的特殊情况下,加法三元组被称为 Schur 三元组。多位作者给出了 Schur 三元组数目 $r(A,A,A)$ 的界,并证明了下界和上界均可由作为 $\mathbb{Z}_p$ 中 $s$ 个连续元素区间的集合 $A$ 取得。然而,对于某些 $p,s$ 的值,下界与上界之间的并非所有值都是可达的。本文考虑了 $A,B$ 可以不同的更一般情况。我们使用 Pollard 对 Cauchy-Davenport 定理的推广来导出加法三元组数目 $r(A,B,B)$ 的界。与 $A=B$ 的情况相反,我们证明了从下界到上界之间的 $r(A,B,B)$ 的每一个值都是可达的:当 $B$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 中 $t$ 个连续元素的区间时,即可达到每一个这样的值。