r 元组的 s 递增序列的长度

我们证明了若干与 Po-Shen Loh 提出的一个问题相关的结果，该问题等价于 Ramsey 理论中的一个问题。设 $a=(a_1,a_2,a_3)$ 和 $b=(b_1,b_2,b_3)$ 为两个整数三元组。若对于至少两个 $i$ 值有 $a_i<b_i$，则定义 $a$ 2-小于 $b$；并定义三元组序列 $a^1,\dots,a^m$ 为 2-递增的，如果当 $r<s$ 时 $a^r$ 2-小于 $a^s$。Loh 问道，如果所有三元组取值于 $\{1,2,\dots,n\}$ 中，一个 2-递增序列能有多长，并通过使用三角形移除引理给出了对平凡上界 $n^2$ 的 $\log_*$ 改进。在另一方面，一个简单的构造给出了 $n^{3/2}$ 的下界。我们研究了这个问题及其一系列推广，改进了一些已知界，指出了其与极值组合中其他著名问题的联系，并提出了若干进一步的问题。