树的非对称 Ramsey 数

设$n\geq\nu$，设T为n顶点树，二分图类别大小为$t_1\geq t_2$，设S为$\nu$顶点树，二分图类别大小为$\tau_1\geq\tau_2$。通过四种自然构造，我们显示 Ramsey 数$R(T,S)$被下界$\underline{R}(T,S)=\max\{n+\tau_2、\nu+\min\{t_2、\nu\}、\min\{2t_1、2\nu\}、2\tau_1\}-1$所下界。我们的主要结果表明，存在常数$c>0$，使得对所有足够大的整数$n\geq\nu$，若满足（i）$\Delta(T)\leq cn/\log n$且$\Delta(S)\leq c\nu/\log\nu$，（ii）$\tau_2\geq t_2$，且（iii）$\nu\geq t_1$，则$R(T,S)=\underline{R}(T,S)$。特别地，这确定了大族对树的精确 Ramsey 数。我们还提供示例表明若删除三个假设（i）、（ii）和（iii）中的任意一个，$R(T,S)$即可超过$\underline{R}(T,S)$。