关于 $\mathbb{Z}_m$ 中的加法与减法基的平均情况研究

给定正整数 $m$，设 $\mathbb{Z}_m$ 为模 $m$ 的剩余类集合。对于 $A\subseteq \mathbb{Z}_m$ 和 $n\in \mathbb{Z}_m$，设 $\sigma_A(n)$ 为方程 $n=x+y$ 的解数，其中 $x,y\in A$。设 $\mathcal{H}_m$ 为满足 $\sigma_A(n)\geq1$ 对所有 $n\in \mathbb{Z}_m$ 的子集族。设 \ell_m=\min\limits_{A\in \mathcal{H}_m}\left\lbrace m^{-1}\sum_{n\in \mathbb{Z}_m}\sigma_A(n)\right\rbraces。 遵循 Ding 和 Zhao 关于鲁兹萨数的结果，我们知道 $$\limsup_{m\rightarrow\infty}\ell_m\le 192。$$ Ding 和 Zhao 随后询问可能的改进值。在本文中，我们证明 $$\limsup\limits_{m\rightarrow\infty}\ell_m\leq 144。$$ 此外，本文也研究了 $\mathbb{Z}_m$ 中减法基的平行结果。