一阶输运方程的自适应各向异性 Petrov-Galerkin 方法
数值分析
2016-01-05 v1
摘要
本文基于近期针对线性输运方程的自适应方法发展，该方法建立在某种 Petrov-Galerkin 类型的稳定变分格式之上。该变分格式允许我们使用具有任意长宽比单元的网格。我们受 shearlet 系统启发，开发了一种生成高度各向异性剖分的加密方案。针对某些紧致卡通类函数，我们建立了基于相应分片多项式的 N 项逼近的逼近速率。与先前在 curvelet 或 shearlet 背景下的结果不同，此处卡通类通过某些特征参数简洁定义，且逼近速率对这些参数的依赖关系在此被明确给出。逼近速率结果随后作为基准，用于输运方程自适应 Galerkin 求解器的后续应用。在数值实验中，新算法稳定且精确地追踪 C^2 弯曲剪切层与间断，并实现了本质最优速率。最后，我们处理依赖于参数的输运问题，这类问题出现在动力学模型以及辐射转移中。在非均匀介质中，这些问题具有沿弯曲特征线传播的奇性，尤其排除了基于射线追踪的快速行进法。由于此时解成为空间变量与参数的函数，必须应对维数灾难。我们通过计算表明，对于非均匀介质中 2+1 维的模型参数化输运问题，将本文提出的空间方向自适应格式与基于稳定变分格式的高维相空间纵坐标空间分层配点相结合进行稀疏张量化，可在逼近平均体变量时消除维数灾难。
引用
@article{arxiv.1601.00193,
title = {Adaptive Anisotropic Petrov-Galerkin Methods for First Order Transport Equations},
author = {W. Dahmen and G. Kutyniok and W. -Q Lim and C. Schwab and G. Welper},
journal= {arXiv preprint arXiv:1601.00193},
year = {2016}
}