矩阵去噪中对未知噪声分布的自适应

我们考虑从观测 $\boldsymbol{Y} = \boldsymbol{X}+\boldsymbol{W}$ 中估计未知矩阵 $\boldsymbol{X}\in {\mathbb R}^{m\times n}$ 的问题，其中 $\boldsymbol{W}$ 是一个各项独立同分布的噪声矩阵，目标是最小化以算子范数度量的估计误差。假设底层信号 $\boldsymbol{X}$ 是低秩的且与典范基不相干，我们证明了在 $m,n\to\infty$ 的高维极限下，极小极大风险等价于 $(\sqrt{m}\vee\sqrt{n})/\sqrt{I_W}$，其中 $I_W$ 是噪声的 Fisher 信息。关键的是，我们开发了一种高效过程，在噪声分布上自适应地（在某些正则性假设下）达到该风险。令 $\boldsymbol{X} = \boldsymbol{U}{\boldsymbol{\Sigma}}\boldsymbol{V}^{{\sf T}}$——其中 $\boldsymbol{U}\in {\mathbb R}^{m\times r}$，$\boldsymbol{V}\in{\mathbb R}^{n\times r}$ 为正交矩阵，且 $r$ 在 $m,n\to\infty$ 时保持固定——我们使用我们的方法估计 $\boldsymbol{U}$、$\boldsymbol{V}$。标准谱方法仅当 $\boldsymbol{X}$ 的奇异值大于 $(mn)^{1/4}{\rm Var}(W_{11})^{1/2}$ 时才提供因子 $\boldsymbol{U},\boldsymbol{V}$ 的非平凡估计（弱恢复）。我们证明新方法将弱恢复下推至信息论最优阈值 $(mn)^{1/4}I_W^{1/2}$。