奇异值阈值化矩阵去噪的极小极大风险

未知的 $m$ 乘 $n$ 矩阵 $X_0$ 需从含噪测量 $Y=X_0+Z$ 中估计，其中噪声矩阵 $Z$ 具有独立同分布的高斯条目。一种流行的矩阵去噪方案求解核范数惩罚问题 $\operatorname {min}_X\|Y-X\|_F^2/2+\lambda\|X\|_*$，其中 $\|X\|_*$ 表示核范数（奇异值之和）。这是向量情形下 $\ell_1$ 惩罚在矩阵上的类比。经验观察表明，若 $X_0$ 为低秩，则可从含噪测量 $Y$ 中相当准确地恢复它。在比例增长框架下，其中秩 $r_n$、行数 $m_n$ 和列数 $n$ 均彼此成比例地趋于 $\infty$ ($r_n/m_n\rightarrow \rho$, $m_n/n\rightarrow \beta$)，我们评估了渐近极小极大均方误差 $\mathcal {M}(\rho,\beta)=\lim_{m_n,n\rightarrow \infty}\inf_{\lambda}\sup_{\operatorname {rank}(X)\leq r_n}\operatorname {MSE}(X_0,\hat{X}_{\lambda})$。我们的公式涉及四分之一圆律和半圆律（$\beta=1$，方阵情形）以及 Mar\v{c}enko-Pastur 律（$\beta<1$，非方阵情形）的不完全矩。对于有限的 $m$ 和 $n$，我们表明随着 $X_0$ 的非零奇异值增大，MSE 也随之增加。因此，有限 $n$ 的最坏情况 MSE（一个可数值计算的量）是在信号 $X_0$“无限强”时达到的。核范数惩罚问题通过对 $Y$ 的奇异值应用软阈值化来求解。我们还推导了极小极大阈值，即最优的奇异值阈值位置 $\lambda^*(\rho)$。所有这些结果均针对一般（非方阵、非对称）实矩阵获得。对于方阵对称非负定矩阵也获得了可比的结果。