广秩矩阵分解与去噪中平均场方程的微扰构造

两个因子的秩随其规模线性发散的矩阵分解在诸多领域有广泛应用，如非监督表示学习、字典学习或稀疏编码。我们考虑如下设定：两个因子由已知的逐元素独立先验分布生成，统计学家观测到其矩阵乘积的（可能含噪的）逐元素函数。在矩阵维度趋于无穷而比值保持固定的极限下，我们期望能导出估计这两个因子的最优均方误差的闭式表达式。然而，这仍是一个极为复杂的数学与算法问题。一个相关但更简单的的问题是广秩矩阵去噪，其目标是从含噪观测中重建一个秩广但通常较小的矩阵。本文中，我们采用在固定序参量下的高温展开来处理这两个问题。这澄清了先前求解这些问题的尝试为何未能找到渐近精确解。我们提供了系统的方法来推导对这些已有近似的修正，并考虑到该问题特有的关联结构。最后，我们详细地在广秩矩阵去噪的实例上阐释了我们的方法。我们将结果与已知的最优旋转不变估计量进行比较，并展示了如何利用广秩矩阵积分执行最小误差的精确渐近计算。