Coherent Imaging中的估计问题的Minimax分析

与磁共振成像等传统成像模态不同，Coherent成像系统遵循 significantly 更复杂的模型。在这些系统中，任务是从形式为 ${\boldsymbol y}_l = A_l X_o {\boldsymbol w}_l + {\boldsymbol z}_l$（$l = 1, \ldots, L$）的观测中估计未知图像 ${\boldsymbol x}_o \in \mathbb{R}^n$，其中 $X_o = \mathrm{diag}({\boldsymbol x}_o)$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，${\boldsymbol w}_1, \ldots, {\boldsymbol w}_L \stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(0,I_n)$ 表示散斑噪声，${\boldsymbol z}_1, \ldots, {\boldsymbol z}_L \stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim} \mathcal{N}(0,\sigma_z^2 I_m)$ 表示加性噪声。矩阵 $A_1, \ldots, A_L$ 为已知的前向算子，由成像系统决定。传统成像系统的基本极限已通过稀疏线性回归模型广泛研究，但Coherent成像系统的极限仍鲜有探索。我们的目标是通过 characterize ${\boldsymbol x}_o$ 的 minimax风险来弥合这一差距。受稀疏回归启发，我们注意到 ${\boldsymbol x}_o$ 的结构在决定估计误差方面起关键作用。本文采用基于覆盖数的通用结构概念，这更适用于Coherent成像系统。我们证明，minimax均方误差（MSE）按如下比例缩放：$$\frac{\max\{\sigma_z^4,\, m^2,\, n^2\}\, k \log n}{m^2 n L},$$其中 $k$ 为图像类有效复杂度的量化参数。