幂级数反演的精度与稳定性

本文考虑幂级数 $p(x)=1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots$ 的数值反演，以计算满足 $p(x)q(x)=1$ 的逆级数 $q(x)$。数值反演是三角回代的一种特殊情况，自 Wilkinson (1961) 的经典工作以来，其数值稳定性一直备受关注但具有迷惑性。我们证明了幂级数反演的数值稳定性并获得了数值误差的界。一系列例子表明这些界相当好。当 $p(x)$ 是多项式且 $x=a$ 是满足 $p(a)=0$ 的根时，我们表明通过简单除法 $p(x)/(x-a)$ 进行的根 deflate（根降阶）可能会触发与多项式求根和有限差分权重计算相关的不稳定性。当 $p(x)$ 是多项式时，计算出的逆 $q(x)$ 的精度与 $p(x)$ 的伪零点有关。