通过 $\epsilon$ 展开访问大整体电荷

我们在 $D=4-\epsilon$ 维的 $O(2)$ Wilson-Fisher 模型中，计算了在大整体电荷 $J$ 下的最低算符维数 $\Delta(J;D)$，在 $1/J$ 和 $\epsilon$ 中均取领头阶。在（重整求和后的）$\epsilon$ 展开中，适用于 $J\gg 1/\epsilon \gg 1$ 的 $\Delta(J;D)$ 最终结果给出为 \begin{equation*} \Delta(J;D)=\left[\frac{2(D-1)}{3(D-2)}\left(\frac{9(D-2)\pi}{5D}\right)^{\frac{D}{2(D-1)}}\left[\frac{5\Gamma\left(\frac{D}{2}\right)}{24\pi^2}\right]^{\frac{1}{D-1}} \epsilon^{\frac{D-2}{2(D-1)}}\right]\times J^{\frac{D}{D-1}}+O\left(J^{\frac{D-2}{D-1}}\right) \end{equation*} 由于技术上的繁琐，尽管没有根本性的困难，此处未计算次领头阶及更高阶。我们还将 $\epsilon=1$ 时的结果 \begin{equation*} \Delta(J)=0.293\times J^{3/2}+\cdots \end{equation*} 与三维蒙特卡洛模拟的实际数据 \cite{Banerjee:2017fcx} 进行比较，系数 $0.293$ 与数值结果的偏差为 $13\%$。此外，我们还发现当固定 $\epsilon$（或反之）而减小 $J$ 时，在 $J\sim 1/\epsilon$ 附近，$\Delta(J;D)$ 从 $\Delta(J)\propto J^{\frac{D}{D-1}}$ 交叉到 $\Delta(J)\propto J$，这反映了在 $\epsilon=0$ 处不存在相互作用不动点。基于这一行为，我们提出一个有趣的双重标度极限，固定 $\lambda\equiv J\epsilon$，适用于探测交叉区域。我将给出微扰论中次领头阶的 $\Delta(J;D)$，分别在 $\lambda\gg 1$ 和 $\lambda\ll 1$ 时于 $1/\lambda$ 或 $\lambda$ 中有效。