关于Lieb-Solovej的一个猜想

最近，E. H. Lieb与J. P. Solovej提出了一个关于上半平面两个Bergman空间之间嵌入常数的猜想。该问题与仿射$AX+B$群的Werhl型熵不等式相关。更确切地说，对于任意上半平面$\Pi^+$上的全纯函数$F$，$$\int_{\Pi^+}|F(x+iy)|^{2s}y^{2s-2}dxdy\le \frac{\pi^{1-s}}{(2s-1)2^{2s-2}}\left(\int_{\Pi^+}|F(x+iy)|^2 dxdy\right)^s$$ 对$s\ge 1$成立，且常数$\frac{\pi^{1-s}}{(2s-1)2^{2s-2}}$是最优的。我们以不同方式证明了上述不等式在$s$为整数时成立，并证明了当$s\rightarrow\infty$时成立。我们还证明了当限制于Bergman核的幂时，该猜想成立。接下来我们研究$s$接近于$1$的情形。此后，我们将该猜想转移到单位圆盘上，并证明当限制于解析单项式时猜想成立。最后，我们概述了在试图证明该猜想过程中所获得的界。