斯图尔米安词中的阿贝尔幂与阿贝尔重复

Richomme、Saari 与 Zamboni (J. Lond. Math. Soc. 83: 79-95, 2011) 证明了在 Sturmian 词的每个位置都起始一个指数为 $k$ 的阿贝尔幂，对任意 $k > 0$ 成立。我们通过研究 Sturmian 词中阿贝尔幂与阿贝尔重复（阿贝尔重复是分数幂的一种类比）的最大指数来改进这一结果。我们给出了一个公式，用于计算旋转角为 $\alpha$ 的任意 Sturmian 词中，从给定位置起始、阿贝尔周期为 $m$ 的阿贝尔幂的最大指数。作为临界指数的类比，我们引入角度为 $\alpha$ 的 Sturmian 词 $s_\alpha$ 的阿贝尔临界指数 $A(s_\alpha)$，定义为量 $A(s_\alpha) = limsup\ k_{m}/m=limsup\ k'_{m}/m$，其中 $k_{m}$（相应地 $k'_{m}$）表示阿贝尔周期为 $m$ 的阿贝尔幂（相应地为阿贝尔重复）的最大指数（对 Sturmian 词而言上极限重合）。我们证明 $A(s_\alpha)$ 等于数 $\alpha$ 的拉格朗日常数。由此得到了一个根据 $\alpha$ 的连分数展开的偏商计算 $A(s_\alpha)$ 的公式。利用该公式，我们证明 $A(s_\alpha) \geq \sqrt{5}$，且对斐波那契词取等号。我们进一步证明 $A(s_\alpha)$ 有限当且仅当 $\alpha$ 具有有界偏商，也即当且仅当对某个实数 $\beta$，$s_{\alpha}$ 是无 $\beta$-幂的。关于无穷斐波那契词，我们证明：i) 周期为 $F_j$（$j>1$）的阿贝尔重复的最长前缀，若 $j$ 为偶数长度为 $F_j( F_{j+1}+F_{j-1} +1)-2$，若 $j$ 为奇数长度为 $F_j( F_{j+1}+F_{j-1} )-2$，其中 $F_{j}$ 是第 $j$ 个斐波那契数；ii) 任意因子的极小阿贝尔周期均为斐波那契数。此外，我们推导了有限斐波那契词的极小阿贝尔周期公式。